Urti elastici unidimensionali
Negli urti elastici oltre alla quantità di moto, si conserva anche l’energia cinetica totale del sistema. Questo ci consente, a differenza del caso anelastico, di ricavare le velocità finali dei corpi dopo l’urto senza aver bisogno di informazioni aggiuntive.
Consideriamo, allora, l’urto elastico di due corpi di masse \(m_1\) e \(m_2\) che si si muovono prima dell’urto con velocità \(\vec{v}_{1,i}\) e \(\vec{v}_{2,i}\) e con velocità \(\vec{v}_{1,f}\) e \(\vec{v}_{2,f}\) dopo l’urto.
Supponiamo in un primo momento che l’urto avvenga lungo una retta per semplificarne lo studio e scriviamo per esteso la conservazione della quantità di moto totale e dell’energia totale del sistema:
In questo caso, dal punto di vista matematico, abbiamo due equazioni in due incognite, cioè un sistema.
Per trovare i valori delle velocità finali, andiamo, allora, a mettere a sistema la prima equazione con la seconda moltiplicata per 2 :
In entrambe le equazioni portiamo a primo membro i termini relativi al corpo di massa \(m_1\) e a secondo membro termini relativi al corpo di massa \(m_2\) e raccogliamo le masse a fattor comune:
Nella seconda equazione scomponiamo le differenze di quadrati come somme per differenze:
A questo punto sostituiamo la seconda equazione con il quoziente di sé stessa per la prima equazione:
Isoliamo, quindi, \( v_{2, f} \) nella seconda equazione e sostituiamolo nella prima:
Ricaviamo, quindi, \( v_{1, f} \) dalla prima equazione:
Il valore di \( v_{2, f} \) si può ricavare sostituendo \( v_{1, f} \) nella seconda equazione.
In definitiva, abbiamo provato che le velocità finali dopo l’urto elastico unidimensionale sono date da:
In altre parole, su corpi di massa uguale l’urto elastico ha l’effetto di scambiare le velocità dei corpi tra loro.
Le soluzioni del sistema presentano assoluta simmetria nei pedici.
Se questo non stupisce dal punto di vista matematico, essendo il sistema simmetrico, dal punto di vista fisico ciò è dovuto al fatto che la scelta di denominare una massa \(m_1\) e l’altra \(m_2\) è totalmente convenzionale e il sistema ha lo stesso comportamento se invertiamo la denominazione dei corpi che lo costituiscono.
Osserviamo, inoltre, che se i due corpi hanno la stessa massa \(m\), allora:
.gif)
Come già visto nel caso dell’urto completamente anelastico, andiamo ad analizzare anche per l’urto elastico la dinamica tra proiettile e bersaglio. Supponiamo nuovamente che il bersaglio sia il corpo di massa \(m_2\) e chiamiamo \(v\) la velocità del proiettile.
Allora le velocità finali dei due corpi sono date da:
Distinguiamo nuovamente tre casi in base al rapporto tra la massa del proiettile e massa del bersaglio.
1) La massa del proiettile è molto maggiore della massa del bersaglio ( \(m_1\) >> \(m_2\) ), quindi:
In questo caso, la velocità finale del proiettile è pressoché uguale a quella iniziale, come se il bersaglio non influisse sul suo moto.
Il bersaglio, invece, parte con velocità doppia rispetto a quella del proiettile. È quello che succede, ad esempio, quando la palla da bowling sbatte contro un birillo: la palla prosegue nella sua corsa come se l’urto non fosse avvenuto mentre il birillo viene sbalzato in avanti con velocità maggiore della palla che l’ha colpito.
2) La massa del proiettile è uguale alla massa del bersaglio ( \(m_1\) = \(m_2\) ), quindi:
In questo caso, come ci aspettavamo, le velocità si scambiano tra loro.
Perciò il proiettile si ferma e trasferisce tutta la sua energia cinetica al bersaglio che parte con la velocità iniziale del proiettile.
È quanto avviene nel pendolo di Newton: ogni volta che una delle palline di metallo urta la pallina che ha a fianco, la prima si ferma e la seconda si mette in moto con la stessa velocità andando ad urtare la pallina successiva.
3) La massa del proiettile è molto minore della massa del bersaglio ( \(m_1\) << \(m_2\) ), quindi:
In questo caso, il proiettile torna indietro con velocità uguale in modulo a quella iniziale, mentre il bersaglio rimane pressoché fermo.
È quello che succede, ad esempio, quando si lancia una pallina contro un muro: la pallina inverte semplicemente il verso del moto, senza perdere energia cinetica.