Moto del centro di massa

Lo studio del moto del centro di massa e delle quantità che si conservano ad esso legate, ci forniscono un riferimento per analizzare anche sistemi complessi. Ci è, perciò, utile definire la velocità del centro di massa di un sistema di corpi, che può essere ricavata a partire dalle definizioni di velocità media e posizione del centro di massa, con le quali si dimostra facilmente che:

Dato un sistema di \(n\) corpi di masse \(m_1\),...,\(m_n\) e velocità \( \vec{v_{1}} \),...,\( \vec{v_{n}} \), la velocità del centro di massa del sistema è la media ponderata delle velocità dei corpi che compongono il sistema, in cui il ruolo dei pesi è assunto dalle masse dei corpi stessi:

Osserviamo che al numeratore compaiono le quantità di moto \( \vec{p_{1}} \),...,\( \vec{p_{n}} \) dei corpi che compongono il sistema. Se chiamiamo \(M\) la somma delle masse di tutti i corpi, cioè \(M\) = \(m_1\)+...+ \(m_n\) , allora possiamo riscrivere la velocità del centro di massa come:

D’altra parte, la somma delle quantità di moto dei corpi che compongono il sistema è uguale alla quantità di moto totale del sistema \(\vec{p}_{tot }\) .

La quantità di moto totale di un sistema è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo centro di massa:

In analogia con quanto visto per la velocità, possiamo definire l’accelerazione del centro di massa di un sistema di corpi:

Dato un sistema di \(n\) corpi di masse \(m_1\),...,\(m_n\) e accelerazioni \( \vec{a_{1}} \),...,\( \vec{a_{n}} \), l’accelerazione del centro di massa del sistema è la media ponderata delle accelerazioni dei corpi che compongono il sistema, in cui il ruolo dei pesi è assunto dalle masse dei corpi stessi:

Anche qui possiamo osservare che al numeratore compaiono i prodotti \( m_{1} \vec{a}_{1} \),...,\( m_{n} \vec{a}_{n} \) che, per la seconda legge della dinamica, sono uguali alle forze \( \vec{F_{1}} \),...,\( \vec{F_{n}} \) che agiscono sui singoli corpi che compongono il sistema. La loro somma corrisponde alla risultante di tutte le forze agenti sul sistema \( \vec{F_{tot}} \), perciò possiamo riscrivere come:

Poiché sappiamo che \( \vec{F}_{tot} \) =\( \vec{F}_{int} \) +\( \vec{F}_{est} \) e per ogni sistema \( \vec{F}_{int} \) = 0, abbiamo dimostrato la seconda legge di Newton per un sistema di particelle:

Il centro di massa di un sistema di corpi si muove come un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema sul quale agisce la risultante delle forze esterne agenti sul sistema stesso:

Dunque, il moto del centro di massa di un sistema di corpi è molto più semplice del moto dei singoli corpi che lo costituiscono.
Pensiamo a un razzo che viene lanciato in aria e poi esplode. Dal momento che l’esplosione è causata da forze interne, trascurando l’attrito dell’aria, l’unica forza a cui è sottoposto il sistema prima, durante e dopo l’esplosione è la forza di gravità.
Ne segue che il centro di massa dei frammenti dopo l’esplosione segue una traiettoria parabolica che è la stessa che avrebbe seguito il razzo se non fosse esploso.

Anche la descrizione delle traiettorie di corpi estesi non simmetrici risulta più semplice.
Pensiamo a un atleta olimpionico che effettua un tuffo dal trampolino.
Un punto qualsiasi del corpo compie delle traiettorie nello spazio complicate da descrivere, mentre il centro di massa è sottoposto a un’unica forza esterna, cioè la forza di gravità e, quindi, compie un semplice moto parabolico.

È bene notare come in alcuni istanti il centro di massa si trovi fuori dal corpo del tuffatore.
Questo è del tutto lecito in quanto il centro di massa è un punto geometrico e, proprio come il baricentro, può essere esterno al corpo che modellizza.
La seconda legge di Newton per i sistemi di particelle ha un’importante conseguenza per i sistemi isolati. Infatti per essi \( \vec{F}_{est} \) = 0  e, quindi, abbiamo:

Abbiamo così provato il principio di conservazione della velocità del centro di massa per i sistemi isolati:

Nei sistemi isolati il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme:

In altre parole, per i sistemi isolati, alla conservazione della quantità di moto totale del sistema corrisponde il moto rettilineo uniforme del centro di massa.