La legge fondamentale della dinamica in termini di quantità di moto
Ogni volta che su un corpo viene applicata una forza, esso subisce un’accelerazione, quindi varia la sua velocità e, di conseguenza, la sua quantità di moto. Tuttavia, la variazione della quantità di moto non dipende solo dalla forza applicata.
Se spingi un carrello della spesa con un colpo secco, questo avrà una velocità minore rispetto a un carrello che è stato spinto per un tratto più lungo con la stessa forza.
Si tratta dello stesso principio per il quale, prima di effettuare un salto, si prende una lunga rincorsa anziché saltare da fermi, o per il quale gli atleti del bob lo spingono per un lungo tratto prima di salirci sopra senza limitarsi a un’unica spinta iniziale.
Esiste quindi un legame tra la variazione di quantità di moto di un corpo \( \Delta{\vec{p}} \) , la forza \( \vec{F} \) che agisce su di esso e l’intervallo di tempo \(\Delta{t} \) nel quale essa agisce.
Per capire qual è questa relazione, consideriamo un corpo di massa \(m\) e supponiamo che la sua velocità vari da \( \vec{v}_{i} \) a \( \vec{v}_{f} \). La sua variazione di quantità di moto sarà:
Se dividiamo i due membri dell’equazione per l’intervallo di tempo \(\Delta{t} \) in cui è avvenuta la variazione di velocità, otteniamo:
Il membro di destra dell’equazione corrisponde alla massa del corpo moltiplicata per l’accelerazione media \( \vec{a} \) che ha subito, quindi:
Applicando, allora, il secondo principio della dinamica, osserviamo che la quantità \(m \vec{a}\) altro non è che la forza risultante \( \vec{F} \) applicata al corpo. Abbiamo, così, dimostrato che:
Anche se abbiamo supposto che la massa del corpo restasse immutata, con strumenti matematici più elaborati è possibile dimostrare che la relazione è valida anche se la massa non è costante. Abbiamo, quindi, una riformulazione della seconda legge della dinamica in termini di quantità di moto:
La forza risultante \( \vec{F} \) che agisce su un corpo è uguale alla variazione di quantità di moto \( \Delta{\vec{p}} \) del corpo nel tempo \( \Delta{t} \) in cui essa avviene.
Questa formulazione della seconda legge della dinamica è quella originale di Newton, che nel Philosophiae Naturalis Principia Mathematica scriveva: “Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae”, cioè “Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice applicata”.
La stessa legge è valida anche per un sistema di corpi, a patto di sostituire \(\vec{F} \) con la risultante di tutte le forze agenti sul sistema \(\vec{F}_{tot} \) e \(\Delta{\vec{p}}\) con la variazione della quantità di moto totale del sistema \(\Delta{\vec{p}_{tot}}\) .